- Kubikzahl
Die 3. Potenz einer Zahl heisst Kubik. 43 bedeutet Kubikzahl: 4 • 4 • 4 = 64
Dies ist auch das Volumen eines Würfels mit der Kantenlänge 4 Einheiten.
- Spezialfälle
a0 = 1 160 = 1
a1 = a 341 = 34
Rechnen mit Potenzen
- Addition & Subtraktion
Potenzen werden addiert oder subtrahiert, indem man jede einzelne Potenz bestimmt und anschliessend addiert bzw. subtrahiert:
23 + 52 = 8 + 25 = 33
163 – 42 = 4096 – 16 = 4080
an + am = an + am
bn – bm = bn – bm
Diese Terme können nicht weiter vereinfacht werden!
- Multiplikation
Potenzen mit der gleichen Basiszahl werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert, oder eleganter ausgedrückt: Die Basiszahl wird mit der Summe der Exponenten multipliziert.
53 • 52 = 53+2 = 55 = 3125
an • am = an + m
Potenzen mit gleichen Exponenten werden multipliziert, indem man die Basiszahlen miteinander multipliziert und den Exponenten beibehält:
243 • 43 = (24 • 4) 3 = 963 = 884‘736
an • bn = (a • b) n
- Division
Potenzen mit der gleichen Basis werden dividiert, indem die Exponenten voneinander subtrahiert werden:
6 5 : 63 = 6 5-3 = 6 2 = 36
an : am = an – m
Potenzen mit gleichen Exponenten werden dividiert, indem zunächst die Basen dividiert und anschliessend das Ergebnis potenziert wird:
273 : 93 = 33 = 27
an : bn = (a : b) n
- Potenzieren
Eine Potenz wird potenziert, indem die Exponenten multipliziert werden:
(23)2 = 23 • 2 = 2 6 = 64
(a n) m = a n • m
Ein Produkt wird potenziert, indem man jeden Faktor potenziert und dann anschliessend multipliziert:
(5 • 4) 3 = 53 • 43 = 125 • 64 = 8000
(a • b) n = an • bn
Ein Bruch wird potenziert, indem man Zähler und Nenner potenziert:
Zehnerpotenzen
10 5 = 100000
10 4 = 10000
10 3 = 1000
10 2 = 100
10 1 = 10
10 0 = 1
10 –1 = 0,1
10 –2 = 0,01
- Darstellung sehr grosser und kleiner Zahlen mit Hilfe von Zehnerpotenzen
5000 = 5 • 1000 = 5 • 103
34‘000 = 3,4 • 10‘000 = 3,4 • 104
0,0075 = 7,5 • 0,0001 = 7,5 • 10–4
Die Zahl links vom Komma ist immer einstellig!
- Taschenrechner
Beobachte, wie dein Taschenrechner sehr grosse und kleine Zahlen darstellt:
Herkömmliche Rechner mit Einzeilendisplay zeigen auf der rechten Seite der Anzeige nur den Exponenten der Zehnerpotenz.
Bsp.
5'678'901'234 = 5,678901234 • 109 >> Taschenrechner: 5, 678901 9
0,000023456789 = 2,3456789 • 10-5 >> Taschenrechner: 2,345679 -5
Merke:
Ein positiver Exponent zeigt an, um wie viele Stellen das Komma nach rechts verschoben werden muss.
Ein negativer Exponent zeigt an, um wie viele Stellen das Komma nach links verschoben werden muss.
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Viele Taschenrechner mit Zweizeilendisplay (ein häufig verwendetes Modell ist der TI 30X) zeigen den vollständigen Term.
Bemerkenswert
Potenzen wachsen sehr schnell. Hier zwei Beispiele:
- Die grösste Zahl, die man mit Hilfe von drei Ziffern darstellen kann ist
Diese Zahl kann hier gar nicht dargestellt werden - sie besteht aus 396‘693‘100 Ziffern!
Vom Erfinder des Schachspiels gibt es folgende Anekdote:
Er erbat sich als Belohnung auf das 1. Feld ein Weizenkorn, auf das 2. Feld zwei Weizenkörner und auf jedes weitere Feld immer die doppelte Anzahl der Körner des vorhergehenden. Dies führt bei 64 Feldern zu der Gesamtmenge von 264 – 1 Körnern. Das sind 1.8447 • 1019 Körner. Rechnet man 16 Körner zu einem Gramm, so sind dies rund 1.1529 • 1012 t Weizen.
Die Weltgetreideproduktion 2002 betrug ca. 5.483 • 109 t. Das heisst, man würde (1.1529 • 1012 t) : (5.483 • 109 t) = 210 Ernten aus dem Jahr 2002 benötigen.
Überlege dir die Situation, in der sich der Erfinder des Schachspiels befunden haben könnte.
