1    Einführendes Beispiel

Wir betrachten folgende Aufgabe:

Anna ist Taxifahrerin und fährt mit dem Taxi A. Bruno ist ebenfalls Taxifahrer, er fährt mit dem Taxi B. Wer Taxi A benutzt, bezahlt eine Grundgebühr von 3 Franken und einen Kilometerpreis von 2 Franken. Wer Taxi B benutzt, bezahlt einen Grundpreis von 5 Franken und einen Kilometerpreis von nur 1.50 Franken.

Für welche Strecken sollte man als preisbewusste Taxibenutzerin oder als preisbewusster Taxibenutzer zu Anna und für welche zu Bruno ins Taxi steigen?

Um die Lösung dieses Problems zu berechnen, zeichnen Sie die beiden Möglichkeiten in das obige Koordinatensystem ein. Bestimmen Sie zu diesem Zweck einige Beispiele für beide Fälle und tragen Sie die entsprechenden Punkte ins Koordinatensystem ein.

Beispiel:

Taxi A, Distanz 5 km. Der Fahrpreis ist 3 Fr. (Grundgebühr) + 5*2 Fr. = 13 Fr.

Sie tragen also den Punkt (5/13) ins Koordinatensystem ein.

• Interpretieren Sie das Ergebnis in Zweier- oder Dreiergruppen.

Zeichnet man die beiden Kurven, welche die Preise in Abhängigkeit von der zurückgelegten Strecke darstellen, in das Koordinatensystem ein, erkennt man, dass es sich um Geraden handelt. Der Preiszuwachs pro Kilometer ist ja in beiden Fällen konstant - man spricht von linearem Wachstum.

Beide Geraden lassen sich in der Form y = mx + b beschreiben. Versuchen Sie, die beiden Gleichungen (Kostenberechnung) für die beiden Taxis zu bestimmen.

Taxi A: ____________________              Taxi B: _________________________

Versuchen Sie nun, rechnerisch zu bestimmen, für welche Strecke die beiden Taxis gleich teuer sind:

2    Die Geradengleichung

Wir lösen uns nun vom konkreten Beispiel und betrachten beliebige Geraden in der xy-Ebene.

Versuchen Sie, die Gleichungen der 4 Geraden in der folgenden Grafik in der Form y=mx+b zu schreiben.

Von der Umgangssprache her ist der Begriff „Steigung“ bereits bekannt. Wir stellen fest, dass die Steigung m für alle 4 Geraden identisch ist.

Gruppenaufgabe:

• Überlegen Sie, wie Sie die Steigung einer beliebigen Geraden im Koordinatensystem bestimmen könnten.
• Welche Sonderfälle gibt es?
• Suchen Sie eine Strategie, mit der Sie die Variable b bestimmen können.
• Überlegen Sie sich einen (eigenen) Namen für die Variable b (unter Einbezug der obigen Strategie).
• Geben Sie sich einige Gleichungen der Form y=mx+b vor und zeichnen Sie die Geraden in ein Koordinatensystem.
• Zeichnen Sie eigene Geraden in ein Koordinatensystem und versuchen Sie, die Gleichungen zu bestimmen.

Fazit:

• Eine lineare Funktion f hat die Gleichung y=mx+b
• Der Graph von f ist eine Gerade mit der Steigung m und dem y-Achsenabschnitt b.
• Die Steigung m lässt sich mit einem Steigungsdreieck bestimmen. Sind P₁(x₁/y₁) und P₂(x₂/y₂) die Eckpunkte des Steigungsdreiecks auf der Geraden, so gilt:
     .
• Ist m=0, liegt die Gerade parallel zur x-Achse.
  Ist m>0, steigt die Gerade von links nach rechts an.
  Ist m<0, fällt die Gerade von links nach rechts.
• b ist der y-Achsenabschnitt. Dieser entspricht der y-Koordinate des Schnittpunktes S der Geraden mit der y-Achse: S(0/b)
• Nicht alle Geraden lassen sich durch die Gleichung y=mx+b darstellen.
  Parallele zur y-Achse haben die Gleichung x=c, wobei c eine Konstante ist.
   

Erledigen Sie die folgenden Aufgaben am Computer. Die Arbeitszeit muss mindestens 30 Minuten betragen.

Gehen Sie auf die Website http://www.arndt-bruenner.de/mathe/java/linearefunktionen.htm

Sie finden dort einen Theorieteil über lineare Funktion. Dieser erklärt nochmals ausführlich die lineare Funktion bzw. die Geradengleichung y=mx+b. Sie finden dort alle Informationen, um die bisherigen Erkenntnisse zu vertiefen. Für das Lösen der im Folgenden beschriebenen Aufgaben ist die Bearbeitung des Theorieteils aber nicht nötig. Sie finden aber im Kapitel „Bedeutung der Parameter“ einige sehr ausführliche Beispiele, die hilfreich sein können.

Aufgabe 1

Unter „Ausprobieren“ finden Sie einen einfachen Funktionszeichner. Zeichnen Sie mindestens 10 Funktionen der Form y=mx+b. Bevor Sie aber die Funktion wirklich zeichnen lassen, versuchen Sie sich vorzustellen, wie die entsprechende Gerade im Koordinatensystem liegt.

Aufgabe 2

Zuletzt finden Sie auf der obigen Website einen Link zu den Übungen. Klicken Sie auf diesen Link und lösen Sie die Übungen 1 (Finde den richtigen Funktionsterm) und 2 (Finde den richtigen Funktionsgraphen).

Schicken Sie die Statistik (zuunterst auf der Übungsseite) an die Email-Adresse

________@­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­______________.

Diejenigen, die wenig bis gar keine Probleme mit den Aufgaben haben, schicken mir zusammen mit der Statistik  ein eigenes Beispiel (ähnlich dem Einführungsbeispiel), bei dem lineare Funktionen im Täglichen Leben eine Rolle spielen.

Übung 1

Übung 2

4    Hilfestellung: Hausaufgabenforum

Falls Sie beim Lösen der Hausaufgaben Probleme haben, steht Ihnen ein Hausaufgabenforum zur Verfügung: http://www.forum________.__

Hier haben Sie die Möglichkeit, bei anstehenden Problemen Hilfe von Mitschülerinnen, Mitschülern oder von der Lehrperson zu holen. Öffnen Sie einen neuen Threat und beschreiben Sie Ihr Problem. Versuchen Sie den Betreff Ihres Eintrages so genau wie möglich zu benennen, damit schnell auf den Inhalt geschlossen werden kann. Die Idee des Forums ist es, dass alle Schülerinnen und Schüler einander weiterhelfen können. Es wäre also wichtig, dass auch Schülerinnen und Schüler im Forum vorbeischauen, die beim Lösen der Hausaufgaben keine Unklarheiten hatten, um eventuell ihren Kolleginnen und Kollegen zu helfen. Die Lehrperson wird ebenfalls immer wieder hineinschauen, um Ihnen bei Problemen Hilfestellungen geben zu können.

Dieses Hausaufgabenforum werden wir auch nach Abschluss des aktuellen Themas weiterhin verwenden und ein festes Hausaufgabenforum einrichten.